Quiz su accelerazione., Chi sa la risposta? E la dimostrazione?

Evvabè dai, ormai il quiz puzza. O si cuoce o altrimenti ci cresce il botulino.

Dunque, la domanda era:


Partiamo dalla fregatura o dal quì quò quà.
Un oggetto nello spazio, non soggetto a forze, si muove di moto rettilineo uniforme, cioè a velocità costante, direzione invariabile, verso idem. Questa velocità può anche essere infinitesimamente piccola o anche zero. Quando gli applichiamo un forza f quest'oggetto di massa m subisce un'accelerazione proporzionale alla forza f applicata ed inversamente proporzionale alla sua massa. Per cui:

a=f/m.

In un pozzo gravitazionale abbiamo una forza f costante (non sempre ma supponiamo che in grande scala lo sia) applicata ad un corpo di massa m verso il centro di attrazione gravitazionale. Quindi, possiamo dire che il nostro corpo di massa m è soggetto ad accelerazione di gravità. Questo non significa affatto che il corpo stia accelerando verso alcuna direzione diversa da quella presa come campione, ma soltanto che esiste una forza a lui applicata pari alla sua massa per l'accelerazione di gravità. Un corpo di 1Kg subisce una forza di 9.8Newton verso il centro di attrazione di gravità che nel momento in cui viene lasciato libero il corpo questo accelererà di 9.8m/Sec². Se non viene lasciato cadere sarà sottoposto alla forza dovuta all'accelerazione di gravità ma starà fermo... rispetto al sistema in cui si trova.
Dal punto di vista dell'oggetto, se questo viene lasciato cadere con accelerazione di gravità, l'osservatore si troverebbe come se fosse nello spazio in assenza di gravità perchè verrebbe a mancare l'effetto della forza dovuta all'accelerazione. Da un altro punto di vista il pianeta accelera in senso opposto all'oggetto che sta fermo nello spazio e quindi non soggetto a forze.

Ciò svelato, veniamo al quiz.
La piastra di metallo sta sui rulli, questi trasmettono una forza costante alla pistra. La piastra sottoposta ad una forza, non essendo vincolata orizzontalmente (verticalmente è sottoposta alla forza dovuta all'accelerazione di gravità, ma non influisce perchè contrastata dalla forza uguale e contraria applicata dai rulli alla piastra) accelera dal punto A verso il punto B attraverso il punto C. Il numero di giri dei rulli sarà variabile dell'accelerazione che sarà subita dalla piastra (ricordiamo che stiamo trascurando attriti e inerzia di tutte le masse rotanti). Quindi, la piastra subirà un'accelerazione costante (perchè la regoliamo noi con il controllo del motore sottoforma di coppia) nello spazio che viene misurato con un encoder. Quando la piastra raggiunge il punto C per un istante il vettore accelerazione o la funzione dv/dt (dt) passa per zero e inverte il suo valore fino al raggiungimento del punto B. Al raggiungimento del punto B la velocità raggiunta sarà zero. Quindi ancora una volta il vettore accelerazione sarà zero di intensità ma non invertirà il segno, ma un istante infinitesimale dopo sarà al suo valore nominale. In pratica in tutti e tre i punti dv/dt = 0. Nel punto C si inverte il vettore forza ma non il vettore velocità, nei punti A e B si inverte il vettore velocità ma non il vettore forza che rimane costante.
Quello che si scopre da questo ragionamento cavilloso è che il controllo non può funzionare. Semplicemente perchè la velocità si avvicinerà asintotticamente a zero nel punto B senza che mai la piastra vi giunga a causa di un minimo possibile intoppo, dovuto per esempio alla digitalizzazione della posizione o del valore di isteseresi del comando di controllo o perchè una formica si è arrampicata fin sopra un rullo e costituendo un ostacolo...
Qualcuno si è avvicinato pericolosamente alla soluzione all'inizio. Però, peccato che poi si sia perso...
Vi immaginavate che fosse qualcosa così semplice?
No? E se vi dico è successo sul serio in un impianto reale?

E chi ha detto che era puramente teorico?
Ma poi non è tanto lontano dall'essere teorico, soltanto che la realtà è un insieme complesso, spesso anche molto, di teorie. Considera che non abbiamo tenuto di conto delle masse in rotazione, del rendimento e dell'effetto stick slip dei riduttori che a basso regime a basse coppie non ne vogliono sapere di girare, delle imperfezioni di montaggio dei rulli, tipo disallineameni vari e differenze di diametro...
Figuriamoci che qualcuno ha risolto usando ben due motorizzazioni, una per andare avanti ed una per tornare indietro, le due motorizzazione usano sempre un momento l'uno contro l'altro per recuperare gli attriti delle trasmissioni e per avere sempre una coppia decentementa alta da opporre al moto dei rulli.